Um dia, na aula, um professor propôs aos seus alunos, o seguinte difícil exercício:
Cada um, depois de
o fazer, deveria assentar o resultado na pequena ardósia que usava e colocá-la
na mesa do professor.
Os rapazes entregaram-se às contas, mas o jovem Gauss, após um brevíssimo momento de concentração, escreveu um número na sua ardósia e colocou-a na mesa. Todos acharam estranho. Mas, quando se foi ver o resultado, Gauss tinha acertado, tendo calculado em fracções de segundo o que outros tinham demorado muito tempo a conseguir.
Os rapazes entregaram-se às contas, mas o jovem Gauss, após um brevíssimo momento de concentração, escreveu um número na sua ardósia e colocou-a na mesa. Todos acharam estranho. Mas, quando se foi ver o resultado, Gauss tinha acertado, tendo calculado em fracções de segundo o que outros tinham demorado muito tempo a conseguir.
Vamos lá ver o raciocínio do menino Gauss de apenas 7 ou 8 anos:
Gauss terá reparado que a soma podia ser rescrita «dobrando a meio» a lista de números e
agrupando pares a contar dos extremos.
Assim, em vez de somar 1 + 2 + 3 + ... +
99 + 100, teria somado (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... (50 + 51). São 50 somas e cada uma delas resulta sempre no mesmo número:101.
Portanto, para somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular50 x 101 = 5050. Cá está!!!
Portanto, para somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular
Desta forma encontrou, sem saber, a propriedade da simetria das progressões aritméticas.
Por exemplo:
O método usado por Gauss serve para calcular a soma dos termos de qualquer progressão aritmética. Vamos utilizá-lo para a progressão aritmética acima descrita:
A soma de todos os números de 1 a 100 é um caso particular de soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sucessão de números em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre a mesma.
Por exemplo:
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26
é uma progressão aritmética de razão 3 (a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a 3).
O método usado por Gauss serve para calcular a soma dos termos de qualquer progressão aritmética. Vamos utilizá-lo para a progressão aritmética acima descrita:
| 5 | + | 26 | = | 31, |
| 8 | + | 23 | = | 31, |
| 11 | + | 20 | = | 31, |
| 14 | + | 17 | = | 31. |
Logo, a soma é 4 x 31 = 124.
A partir destas observações, vemos que para calcular a soma dos n primeiros termos de qualquer progressão aritmética basta somar o primeiro termo com o último e multiplicar por metade da quantidade de termos. Isto é, se:
A partir destas observações, vemos que para calcular a soma dos n primeiros termos de qualquer progressão aritmética basta somar o primeiro termo com o último e multiplicar por metade da quantidade de termos. Isto é, se:
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a soma de todos os termos da PA poderá ser calculada pela fórmula:
S = (a1 + an) n/2.
Explicações de matemática - Massamá
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