Os Números de Fibonacci

Os números que se encontram na figura em baixo são exatamente os números da Sucessão de Fibonacci.

                                                                

  Fibonacci formolou um problema que veio a dar origem posteriormente a esta sucessão.  Em 1202 Fibonacci interessou-se pela reprodução de coelhos. Ele criou então um cenário imaginário com as condições ideiais, sob as quais os coelhos se poderiam procriar.

O objectivo era responder à seguinte questão:

                 Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui a um ano?

Condições: No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer. Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês. O período de gestação de um coelho dura um mês. Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses. A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea. Os coelhos nunca morrem.

Demonstração:

Mês 0 - No início da experiência existe apenas um par de coelhos. Mês 1 – Após um mês, os coelhos acasalaram mas ainda não deram à luz. Um par de coelhos ainda. Mês 2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos. Existem agora dois pares de coelhos. Mês 3 – Depois de 3 meses, o par inicial de coelhos dá à luz mais um par de coelhos. No entanto, o segundo par acasala. Isto faz então um total de três pares. Mês 4 – Aos 4 meses, o par original tem mais um par de coelhos. O par nascido no mês 2 também dá à luz. O par de coelhos nascido no mês 3 acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco pares. Mês 5 – Aos 5 meses, todos os pares que nasceram até há dois meses dão à luz. Isto totaliza oito pares. E assim sucessivamente... Será que se consegue encontrar uma maneira de saber o número exacto de coelhos num determinado mês,sem ter de determinar o número de coelhos de todos os meses anteriores? Claro que sim!! Então quantos pares de coelhos nascem em cada mês? Como demora dois meses para cada novo par dar à luz, então cada par de coelhos que já existia há dois meses atrás irá dar à luz um novo par de coelhos. Por outras palavras, o número de novos pares de coelhos de cada mês, é igual ao número de coelhos nascidos dois meses antes. Como nós queremos o número de pares de coelhos que estavam vivos antes dos novos nascerem, então  este número é o mesmo número de pares de coelhos que existem no mês anterior. Concluindo, o número de pares de coelhos em determinado mês, é a soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este. Matematicamente, temos: Fn = Fn-1 + Fn-2 ,n natural Sucessão de Fibonacci

Espreitem este vídeo extraordinário sobre os números que acabei de falar e INSPIREM-SE!! 

Explicações de Matemática - Massamá