Contagem Decrescente para os Exames!

Calendário das Provas Finais do Ensino Básico

Calendário dos Exames Nacionais do Ensino Secundário

Despacho n.º 8248/2013 - GAVE. - veja aqui

Escher. O Matemático Artista!!

" Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exactas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas" 
                                                                                                                                       M. C. Escher

Escher não se considerava artista nem matemático. Mas a verdade é que criou obras primas artístico-matemáticas, fascinado que era por paradoxos visuais. Nos seus desenhos somos levados a novos universos, onde a geometria se transforma em arte ou a arte em geometria.

A Matemática sempre caminhou ao lado da Arte. As obras de M.C. Escher são um excelente exemplo de como as imagens - Arte - podem ajudar ao entendimento de temas complexos da Matemática.

A geometria permite que os alunos experimentem a interacção criativa entre a Matemática e a Arte. Tomemos o exemplo da repetição de um polígono regular em torno de um ponto, sem sobreposição, à exceção da existência de lados comuns, e a sua representação no papel, que conduzirá aos alunos verificar se esse polígono pode ou não ser usado para pavimentar o plano.

Uma pavimentação consiste em cobrir totalmente uma superfície repetindo um padrão formado por figuras geométricas de tal forma que nunca se verifique qualquer sobreposição.

Como demonstra a Matemática, os únicos polígonos utilizados são os triângulos equiláteros, os quadrados e os hexagonos regulares, porque só é possível realizar divisões regulares do plano com estes três polígonos regulares.

No entanto nas imagens do Escher, este não parece usar nenhum destes polígonos. 

Aqui está o erro! Ele apenas usou a Arte para ludibriar a Matemática. 

Reparem, pegou num quadrado e foi recortando e conseguiu transformá-lo num figura com a mesma área.

Como se pode ver:

Assim encaixam na perfeição nas pavimentações!

E a mesma temática no programa de "Isto é matemática", o vídeo aqui

A Resolução do Desafio 1

Cá está a uma resolução do Desafio 1 :

Através dos golos marcados pelas quatro equipas, descobrimos que o total de golos nos seis desafios disputados foi de

                           

                           4 + 2 + 3 + 2 = 11

  o que dá uma média muito baixa, inferior a dois golos por jogo.

Como os resultados foram todos diferentes, a única hipótese é:

 Sem golos: 0 – 0

 Com 1 golo: 1 – 0

 Com 2 golos: 2 – 0  e  1 – 1

 Com três golos: 3 – 0 e 2 – 1

onde aparecem os 11 golos e os dois empates que sabemos terem acontecido.

Comecemos por ver resultados que poderá ter tido o Sporting. Para marcar e sofrer 2 golos, só há duas possibilidades:

                0 – 0, 0 – 1 e 2 – 1 ou 0 – 0, 2 – 1 e 1 – 0.

Em qualquer dos casos, o empate do Sporting terá de ser a 0 – 0.

Quem terá ganho por 3 – 0? O Sporting e o Guimarães não, porque só marcaram dois golos. O Benfica também não, pois não poderia sofrer 4 golos nos outros jogos sendo um deles um empate. Logo, foi o Porto.

Nos outros jogos, o Porto marcou um golo e sofreu 2. Duas hipóteses surgem:

1 – 1 e 0 – 1 (B1)

0 – 0 e 1 – 2 (B2).

Vejamos agora quem perdeu 3 – 0 com o Porto. O Sporting já vimos que não. Poderia ser o Benfica e então, para perfazer os 3 golos marcados e 4 sofridos, os seus resultados teriam de ser obrigatoriamente 0 – 3, 1 – 1 e 2 – 0.

Mas isso é impossível, visto não haver nenhum resultado comum com os de Sporting.

Logo, foi o Guimarães que perdeu 3 – 0 com o Porto e os seus resultados, como não pode sofrer mais golos nos outros dois desafios, terão de ser 0 – 3, 0 – 0 e 2 – 0 . O empate a zero só pode ter sido com o Sporting e, por exclusão de partes, a vitória foi contra o Benfica.

O empate a zero entre Guimarães e o Sporting vai eliminar a hipótese B2 para os resultados do Porto. Portanto, os resultados do Porto são 3 – 0, 1 – 1 e 0 – 1.

O empate tem de ser com o Benfica, porque o Guimarães e o Sporting empataram entre si. A derrota, por 0 – 1, foi frente ao Sporting.

Finalmente, como o Sporting  ganhou 1 – 0 ao Porto, perdeu por   1 – 2   com o Benfica.

  Em resumo, o quadro de resultados foi o que se segue.

                                          Porto - Sporting              0 - 1
                                                      Benfica - Guimarães       0 - 2

                                                      Porto - Guimarães          3 - 0
                                                      Benfica - Sporting            2 - 1

                                                      Porto - Benfica                  1 - 1
                                                      Guimarães - Sporting      0 - 0

Ano Novo. Novos Desafios!!

Vamos começar o ano com desafios!!!
Um por mês e têm duas semanas para tentar resolver!! Vamos lá a tentar!!
Vamos começar com um fácil...

1. TORNEIO QUADRANGULAR

 O Porto, o Benfica, o Sporting e o Guimarães participaram num torneio quadrangular de futebol a uma volta, isto é, cada equipa jogou uma única vez com as outras três. 
 Curiosamente, os resultados dos seis jogos foram todos diferentes e cada equipa obteve uma vitória, um empate e uma derrota. Como ficaram todas com o mesmo número de pontos, foi preciso desempatar pela diferença de golos e a classificação ficou assim ordenada:
                                       

	Jogos	Golos Marcados	Golos Sofridos
Porto	3	4	2
Sporting	3	2	2
Benfica	3	3	4
Guimarães	3	2	3

   Quais foram os resultados dos jogos?

Problema retirado do Livro : "Desafios 6" - Eduardo Veloso e José Paulo Viana

Os Números de Fibonacci

Os números que se encontram na figura em baixo são exatamente os números da Sucessão de Fibonacci.

                                                                

  Fibonacci formolou um problema que veio a dar origem posteriormente a esta sucessão.  Em 1202 Fibonacci interessou-se pela reprodução de coelhos. Ele criou então um cenário imaginário com as condições ideiais, sob as quais os coelhos se poderiam procriar.

O objectivo era responder à seguinte questão:

                 Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui a um ano?

Condições: No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer. Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês. O período de gestação de um coelho dura um mês. Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses. A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea. Os coelhos nunca morrem.

Demonstração:

Mês 0 - No início da experiência existe apenas um par de coelhos. Mês 1 – Após um mês, os coelhos acasalaram mas ainda não deram à luz. Um par de coelhos ainda. Mês 2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos. Existem agora dois pares de coelhos. Mês 3 – Depois de 3 meses, o par inicial de coelhos dá à luz mais um par de coelhos. No entanto, o segundo par acasala. Isto faz então um total de três pares. Mês 4 – Aos 4 meses, o par original tem mais um par de coelhos. O par nascido no mês 2 também dá à luz. O par de coelhos nascido no mês 3 acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco pares. Mês 5 – Aos 5 meses, todos os pares que nasceram até há dois meses dão à luz. Isto totaliza oito pares. E assim sucessivamente... Será que se consegue encontrar uma maneira de saber o número exacto de coelhos num determinado mês,sem ter de determinar o número de coelhos de todos os meses anteriores? Claro que sim!! Então quantos pares de coelhos nascem em cada mês? Como demora dois meses para cada novo par dar à luz, então cada par de coelhos que já existia há dois meses atrás irá dar à luz um novo par de coelhos. Por outras palavras, o número de novos pares de coelhos de cada mês, é igual ao número de coelhos nascidos dois meses antes. Como nós queremos o número de pares de coelhos que estavam vivos antes dos novos nascerem, então  este número é o mesmo número de pares de coelhos que existem no mês anterior. Concluindo, o número de pares de coelhos em determinado mês, é a soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este. Matematicamente, temos: Fn = Fn-1 + Fn-2 ,n natural Sucessão de Fibonacci

Espreitem este vídeo extraordinário sobre os números que acabei de falar e INSPIREM-SE!! 

Explicações de Matemática - Massamá

TANGRAM é um antigo jogo chinês, que consiste na formação de figuras e desenhos por meio de 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo). Não se sabe exatamente quando o jogo surgiu, embora exista uma lenda sobre tal criação. Segundo a mesma, um imperador chinês quebrou um espelho, e ao tentar juntar os pedaços e remontá-lo, percebeu que poderia construir muitas formas com seus cacos. 

    De qualquer forma, o tangram é jogado há séculos em todo o Oriente. De lá, o quebra-cabeça chinês espalhou-se por toda a Ásia, Europa e Estados Unidos, tendo sido, inclusive, fonte de inspiração para a criação de muitos outros jogos.

TANGRAM não exige grandes habilidades dos jogadores; basta ter criatividade, paciência e tempo. Durante o jogo, todas as peças devem ser utilizadas; além disso, não é permitido sobrepor nenhuma peça. 

TANGRAM pode ser utilizado em aulas de matemática, uma vez que o mesmo estimula os alunos a desenvolverem a criatividade e o raciocínio lógico, habilidades essenciais no estudo da disciplina.

Vamos construir!!

1. Desenha um quadrado com, pelo menos, 8 cm de lado e traça uma diagonal.

2. Traça outra diagonal do quadrado só até ao centro.

3. Acha metade da distância entre o centro e vértice superior direito e traça a reta 3 que passa pelo ponto e é paralela à primeira diagonal.

4. Prolonga a segunda diagonal até à reta 3.

5. Traça a reta 5 que é paralela ao lado superior do quadrado.

6. Traça a reta 6 que é paralela à segunda diagonal.

Recorta todos os segmentos que desenhaste

Aqui estão alguns exemplos, mais fáceis:

  

            

                             

Outros, agora sem ajuda:

E para quem quiser jogar por aqui...

                                                            Jogo do Tangram

                                                      ATRACTOR/Tangram

  Explicações de matemática - Massamá

                     

  

O Príncipe da Matemática - Gauss

Um dia, na aula, um professor propôs aos seus alunos, o seguinte difícil exercício:

     "Escrevam todos os números de 1 a 100 e depois vejam quanto dá a sua soma." 

  Cada um, depois de o fazer, deveria assentar o resultado na pequena ardósia que usava e colocá-la na mesa do professor.

  Os rapazes entregaram-se às contas, mas o jovem Gauss, após um brevíssimo momento de concentração, escreveu um número na sua ardósia e colocou-a na mesa. Todos acharam estranho. Mas, quando se foi ver o resultado, Gauss tinha acertado, tendo calculado em fracções de segundo o que outros tinham demorado muito tempo a conseguir.

  Vamos lá ver o raciocínio do menino Gauss de apenas 7 ou 8 anos:

                                    

  Gauss terá reparado que a soma podia ser rescrita «dobrando a meio» a lista de números e agrupando pares a contar dos extremos. 

   Assim, em vez de somar 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100, teria somado (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... (50 + 51). São 50 somas e cada uma delas resulta sempre no mesmo número:101.
   Portanto, para somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular 50 x 101 = 5050. Cá está!!!

Desta forma encontrou, sem saber, a propriedade da simetria das progressões aritméticas.  

A soma de todos os números de 1 a 100 é um caso particular de soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sucessão de números em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre a mesma. 

Por exemplo:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

é uma progressão aritmética de razão 3 (a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a 3). 

O método usado por Gauss serve para calcular a soma dos termos de qualquer progressão aritmética. Vamos utilizá-lo para a progressão aritmética acima descrita:

5	+	26	=	31,
8	+	23	=	31,
11	+	20	=	31,
14	+	17	=	31.

Logo, a soma é 4 x 31 = 124.

A partir destas observações, vemos que para calcular a soma dos n primeiros termos de qualquer progressão aritmética basta somar o primeiro termo com o último e multiplicar por metade da quantidade de termos. Isto é, se:

a1 é o primeiro termo, an é o último termo e n é o número de termos da PA,

a soma de todos os termos da PA poderá ser calculada pela fórmula:

S = (a1 + an) n/2.

   Explicações de matemática - Massamá