Calendário de Exames 2015

Já se encontra aqui publicado o calendário dos Exames de 2014/2015.
Aponte já no seu calendário os Exames que irá realizar e toca a planear o estudo já!!

1º Aniversário!!

Parabéns a nós pelo 1º aniversário!!

Sete dicas para a preparação para os Exames

Depois de um ano de trabalho devem estar cansados mas agora é só mais um último esforço para atingirem os vossos objectivos .

É assim necessário que sejam tomadas medidas de estudo para os Exames com antecedência. Por isso vou tentar ajudar-vos dando algumas dicas.

As minhas sete dicas para a preparação para os Exames:


Planear

Fazer um planeamento de estudo semanal com recurso a um calendário com as datas dos exames já colocados, assim como fazer um planeamento diário é fundamental para que não se desviam do mais importante: ESTUDAR!

Já deverão ter uns apontamentos organizados por temas onde estarão todas as definições, regras, fórmulas e notas que lhe pareçam importantes.

Praticar, praticar e praticar

Comecem por estudar por temas e façam e refaçam exercícios. 
Do tema que pensam ter mais dificuldades e/ou o(s) mais importante(s) do Exame ao mais acessível e/ou menos importante. Não desistam logo à primeira...deve-se sempre tentar, rever exercícios e resoluções e voltar a tentar de novo! 

Sem persistência nada se consegue!

Nesta fase os exercícios que devem ser feitos são de exames, a não ser que haja dificuldades... Caso aconteça devem rever a matéria e fazer exercícios de exigência gradual.


Livro de preparação para Exames

Não sendo essencial se puderem adquiram um livro de preparação para Exames. Tem sempre resumos de matéria, exercícios de diferentes graus de dificuldade e exercícios-tipo exame e Exames com resoluções. Ajuda pois está tudo já organizado num só livro.


Mente sã em corpo são

 Deve fazer pequenas pausas a cada duas horas de estudo. 
 É importante fazerem todas as refeições e dormirem as oito horas de sono.
  

Grupos de Estudo

É aconselhável ter um grupo de estudo. É sempre bom tirar dúvidas e/ou ouvir outras dúvidas e rever métodos e estratégias de outros alunos. 
Não se esqueçam que para duas horas de estudo com amigos têm direito a apenas 15 minutos de conversa.


Simular um Exame

Depois de terem estudado e feito muitos exercícios e problemas devem fazer uma simulação de alguns exames, isto é, devem realizar um exame no tempo definido. Depois façam uma avaliação: vejam os critérios de correção e onde falharam, o que falharam e porque falharam.

Bom Trabalho! E desde já revejam as informações dos Exames aqui.

Contagem Decrescente para os Exames!

Calendário das Provas Finais do Ensino Básico

Calendário dos Exames Nacionais do Ensino Secundário

Despacho n.º 8248/2013 - GAVE. - veja aqui

Escher. O Matemático Artista!!

" Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exactas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas" 
                                                                                                                                       M. C. Escher

Escher não se considerava artista nem matemático. Mas a verdade é que criou obras primas artístico-matemáticas, fascinado que era por paradoxos visuais. Nos seus desenhos somos levados a novos universos, onde a geometria se transforma em arte ou a arte em geometria.

A Matemática sempre caminhou ao lado da Arte. As obras de M.C. Escher são um excelente exemplo de como as imagens - Arte - podem ajudar ao entendimento de temas complexos da Matemática.

A geometria permite que os alunos experimentem a interacção criativa entre a Matemática e a Arte. Tomemos o exemplo da repetição de um polígono regular em torno de um ponto, sem sobreposição, à exceção da existência de lados comuns, e a sua representação no papel, que conduzirá aos alunos verificar se esse polígono pode ou não ser usado para pavimentar o plano.

Uma pavimentação consiste em cobrir totalmente uma superfície repetindo um padrão formado por figuras geométricas de tal forma que nunca se verifique qualquer sobreposição.

Como demonstra a Matemática, os únicos polígonos utilizados são os triângulos equiláteros, os quadrados e os hexagonos regulares, porque só é possível realizar divisões regulares do plano com estes três polígonos regulares.

No entanto nas imagens do Escher, este não parece usar nenhum destes polígonos. 

Aqui está o erro! Ele apenas usou a Arte para ludibriar a Matemática. 

Reparem, pegou num quadrado e foi recortando e conseguiu transformá-lo num figura com a mesma área.

Como se pode ver:

Assim encaixam na perfeição nas pavimentações!

E a mesma temática no programa de "Isto é matemática", o vídeo aqui

Ano Novo. Novos Desafios!!

Vamos começar o ano com desafios!!!
Um por mês e têm duas semanas para tentar resolver!! Vamos lá a tentar!!
Vamos começar com um fácil...

1. TORNEIO QUADRANGULAR

 O Porto, o Benfica, o Sporting e o Guimarães participaram num torneio quadrangular de futebol a uma volta, isto é, cada equipa jogou uma única vez com as outras três. 
 Curiosamente, os resultados dos seis jogos foram todos diferentes e cada equipa obteve uma vitória, um empate e uma derrota. Como ficaram todas com o mesmo número de pontos, foi preciso desempatar pela diferença de golos e a classificação ficou assim ordenada:
                                       

	Jogos	Golos Marcados	Golos Sofridos
Porto	3	4	2
Sporting	3	2	2
Benfica	3	3	4
Guimarães	3	2	3

   Quais foram os resultados dos jogos?

Problema retirado do Livro : "Desafios 6" - Eduardo Veloso e José Paulo Viana

Os Números de Fibonacci

Os números que se encontram na figura em baixo são exatamente os números da Sucessão de Fibonacci.

                                                                

  Fibonacci formolou um problema que veio a dar origem posteriormente a esta sucessão.  Em 1202 Fibonacci interessou-se pela reprodução de coelhos. Ele criou então um cenário imaginário com as condições ideiais, sob as quais os coelhos se poderiam procriar.

O objectivo era responder à seguinte questão:

                 Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui a um ano?

Condições: No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer. Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês. O período de gestação de um coelho dura um mês. Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses. A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea. Os coelhos nunca morrem.

Demonstração:

Mês 0 - No início da experiência existe apenas um par de coelhos. Mês 1 – Após um mês, os coelhos acasalaram mas ainda não deram à luz. Um par de coelhos ainda. Mês 2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos. Existem agora dois pares de coelhos. Mês 3 – Depois de 3 meses, o par inicial de coelhos dá à luz mais um par de coelhos. No entanto, o segundo par acasala. Isto faz então um total de três pares. Mês 4 – Aos 4 meses, o par original tem mais um par de coelhos. O par nascido no mês 2 também dá à luz. O par de coelhos nascido no mês 3 acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco pares. Mês 5 – Aos 5 meses, todos os pares que nasceram até há dois meses dão à luz. Isto totaliza oito pares. E assim sucessivamente... Será que se consegue encontrar uma maneira de saber o número exacto de coelhos num determinado mês,sem ter de determinar o número de coelhos de todos os meses anteriores? Claro que sim!! Então quantos pares de coelhos nascem em cada mês? Como demora dois meses para cada novo par dar à luz, então cada par de coelhos que já existia há dois meses atrás irá dar à luz um novo par de coelhos. Por outras palavras, o número de novos pares de coelhos de cada mês, é igual ao número de coelhos nascidos dois meses antes. Como nós queremos o número de pares de coelhos que estavam vivos antes dos novos nascerem, então  este número é o mesmo número de pares de coelhos que existem no mês anterior. Concluindo, o número de pares de coelhos em determinado mês, é a soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este. Matematicamente, temos: Fn = Fn-1 + Fn-2 ,n natural Sucessão de Fibonacci

Espreitem este vídeo extraordinário sobre os números que acabei de falar e INSPIREM-SE!! 

Explicações de Matemática - Massamá

TANGRAM é um antigo jogo chinês, que consiste na formação de figuras e desenhos por meio de 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo). Não se sabe exatamente quando o jogo surgiu, embora exista uma lenda sobre tal criação. Segundo a mesma, um imperador chinês quebrou um espelho, e ao tentar juntar os pedaços e remontá-lo, percebeu que poderia construir muitas formas com seus cacos. 

    De qualquer forma, o tangram é jogado há séculos em todo o Oriente. De lá, o quebra-cabeça chinês espalhou-se por toda a Ásia, Europa e Estados Unidos, tendo sido, inclusive, fonte de inspiração para a criação de muitos outros jogos.

TANGRAM não exige grandes habilidades dos jogadores; basta ter criatividade, paciência e tempo. Durante o jogo, todas as peças devem ser utilizadas; além disso, não é permitido sobrepor nenhuma peça. 

TANGRAM pode ser utilizado em aulas de matemática, uma vez que o mesmo estimula os alunos a desenvolverem a criatividade e o raciocínio lógico, habilidades essenciais no estudo da disciplina.

Vamos construir!!

1. Desenha um quadrado com, pelo menos, 8 cm de lado e traça uma diagonal.

2. Traça outra diagonal do quadrado só até ao centro.

3. Acha metade da distância entre o centro e vértice superior direito e traça a reta 3 que passa pelo ponto e é paralela à primeira diagonal.

4. Prolonga a segunda diagonal até à reta 3.

5. Traça a reta 5 que é paralela ao lado superior do quadrado.

6. Traça a reta 6 que é paralela à segunda diagonal.

Recorta todos os segmentos que desenhaste

Aqui estão alguns exemplos, mais fáceis:

  

            

                             

Outros, agora sem ajuda:

E para quem quiser jogar por aqui...

                                                            Jogo do Tangram

                                                      ATRACTOR/Tangram

  Explicações de matemática - Massamá

                     

  

O Príncipe da Matemática - Gauss

Um dia, na aula, um professor propôs aos seus alunos, o seguinte difícil exercício:

     "Escrevam todos os números de 1 a 100 e depois vejam quanto dá a sua soma." 

  Cada um, depois de o fazer, deveria assentar o resultado na pequena ardósia que usava e colocá-la na mesa do professor.

  Os rapazes entregaram-se às contas, mas o jovem Gauss, após um brevíssimo momento de concentração, escreveu um número na sua ardósia e colocou-a na mesa. Todos acharam estranho. Mas, quando se foi ver o resultado, Gauss tinha acertado, tendo calculado em fracções de segundo o que outros tinham demorado muito tempo a conseguir.

  Vamos lá ver o raciocínio do menino Gauss de apenas 7 ou 8 anos:

                                    

  Gauss terá reparado que a soma podia ser rescrita «dobrando a meio» a lista de números e agrupando pares a contar dos extremos. 

   Assim, em vez de somar 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100, teria somado (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... (50 + 51). São 50 somas e cada uma delas resulta sempre no mesmo número:101.
   Portanto, para somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular 50 x 101 = 5050. Cá está!!!

Desta forma encontrou, sem saber, a propriedade da simetria das progressões aritméticas.  

A soma de todos os números de 1 a 100 é um caso particular de soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sucessão de números em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre a mesma. 

Por exemplo:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

é uma progressão aritmética de razão 3 (a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a 3). 

O método usado por Gauss serve para calcular a soma dos termos de qualquer progressão aritmética. Vamos utilizá-lo para a progressão aritmética acima descrita:

5	+	26	=	31,
8	+	23	=	31,
11	+	20	=	31,
14	+	17	=	31.

Logo, a soma é 4 x 31 = 124.

A partir destas observações, vemos que para calcular a soma dos n primeiros termos de qualquer progressão aritmética basta somar o primeiro termo com o último e multiplicar por metade da quantidade de termos. Isto é, se:

a1 é o primeiro termo, an é o último termo e n é o número de termos da PA,

a soma de todos os termos da PA poderá ser calculada pela fórmula:

S = (a1 + an) n/2.

   Explicações de matemática - Massamá

MANTÉM-SE A BASE E SOMAM-SE OS EXPOENTES

Um dos meus trabalhos de 4º ano de faculdade - cadeira de Metodologia de Matemática. A proposta era: relatar parte de uma aula fictícia sobre uma temática e depois fazer uma reflexão:

Mantém-se a base e somam-se os expoentes

 Ia iniciar na aula as potências de expoente inteiro na turma de 8ºano. Esta era um pouco problemática e com algumas dificuldades e pensei: 

O que vou fazer? Com que proposta de trabalho, irei conseguir, com que a minha turma esteja toda empenhada e motivada na sua concretização?

  Depois de muito refletir, acabei por fazer uma ficha de trabalho onde eram calculadas algumas potências e assim, depois desses exemplos, esperava que os alunos conseguissem “chegar” a algumas propriedades das potências sozinhos. A melhor maneira de os entusiasmar era pô-los aos pares para que assim pudessem discutir com o colega todas as suas “descobertas”. E assim o fiz!

   De imediato começaram a surgir dúvidas, embora fosse ajudando, tentei não dar logo as respostas para que, por iniciativa própria, conseguissem “ver” qual a propriedade de potências.

   A certa altura, vi um dos pares em desacordo em relação a algo, e dirigi-me a eles. O Miguel, que era um aluno um pouco fraco, afirmou:

    - Já descobri uma das propriedades! Dois ao cubo vezes dois à sexta é quinhentos e doze que é dois à nona, por isso, como os “dois” se mantêm e como nove é seis mais três, a propriedade deve ser: mantém-se a parte de baixo e somam-se os números de cima.

      - Mas explica-me melhor o que é isso de parte de baixo e os números de cima?- pedi para explicar.

   
 O Miguel pensou algum tempo, mas a Rita, a sua colega do lado, tentou esclarece-lo do seu erro de linguagem:

   - Ouve Miguel, a parte de baixo chama-se base e os números de cima são os expoentes.

   - Então pronto “stôra”, a propriedade é: mantém-se a base e somam-se os expoentes.

 Pedi ao Miguel para tentar escrever a propriedade no quadro e pôr o exemplo que conseguiu. Mas a Rita ainda tinha dúvidas sobre a propriedade e retorquiu:

  - Mas “stôra”, dois ao cubo vezes menos dois à sexta continua a ser quinhentos e doze,  mas têm duas bases diferentes e continua a ser dois à nona, não é?

  De certa forma, ela tinha razão, mas eu esperava que os alunos vissem porque é que continuava a ser dois à nona e porque é que se poderia aplicar a propriedade. Assim, disse à Rita para expor o problema à turma no quadro para que todos chegassem a alguma conclusão.

  Todos, uns mais depressa que outros, chegaram à mesma conclusão. No fim da aula todos pareciam satisfeitos com as suas “descobertas” e a Rita ainda exclamou:

     - Assim até é fixe vir à aula de Matemática “stôra”! 

Reflexão

O ensino-aprendizagem da Matemática deve envolver interações dos alunos entre si e entre os alunos e o professor. Assim, antes de tudo, é necessário que o professor saiba refletir sobre a melhor forma dessa interação ocorrer na sala de aula para que os alunos se sintam motivados e se empenham na tarefa da aula.

Pretendia-se que com esta tarefa os alunos falassem, interagindo entre si, desenvolvendo o seu pensamento e através de relações entre os números e calculo destes conseguissem fazer conjeturas e pôr hipóteses. Sabendo que cada aluno tem a sua melhor forma de aprender, é importante verificar que nesta narrativa, mesmo um aluno mais fraco, conseguiu tirar conclusões. É importante também notar que  a professora deu a importância devida àquele aluno, o Miguel, pois mandou-o escrever o resultado que tinha chegado no quadro como se fosse uma “vitória” dele e de certa forma fosse mostrar aos colegas a sua conclusão. Desta maneira a professora encoraja o aluno a intervir mais nas tarefas e a acreditar nas suas capacidades.

A interação aluno-aluno é muito gratificante para os alunos pois, para além de contribuir para promover atitudes morais e cívicas como a confiança, a autonomia e a responsabilidade, permite aos alunos, acima de tudo, expor as suas ideias, ouvir os seus colegas, colocar questões, discutir estratégias e soluções, argumentar e criticar outros argumentos. É certo que este tipo de trabalho coletivo só funciona se for bem conduzido pelo professor se criar nos alunos expectativas em relação ao seu trabalho.

 Uma dificuldade do professor no decorrer da aula é a desmotivação dos alunos. Um  primeiro problema que o professor se coloca a si próprio é de como motivar os alunos  para uma certa matéria. É, no entanto, essencial encontrar uma tarefa estimulante e ao mesmo tempo adequada ao conteúdo e é necessário que o professor tenha expectativas altas dos seus alunos. Pois quanto mais baixas são as expectativas que os professores têm dos seus alunos menos eles se esforçam por fazer.

As tarefas de investigação são uma forma de comunicação escrita, como se viu nesta narrativa, quando a professora pede ao aluno para escrever no quadro aquilo que tinha acabado de afirmar, é também uma forma de comunicação oral, pois os alunos tentam exprimir o que estão a raciocinar e acabam por, com a ajuda da professora ou de outros alunos, conseguir falar corretamente os termos matemáticos.

A dúvida da Rita era muito interessante e estimulante para que ocorresse discussão na sala de aula e que com a dúvida a propriedade acabasse por ser devidamente assimilada por todos corretamente. A professora tentou, ao pedir à Rita para expor o problema à turma, que fosse isso mesmo que acontecesse. Os alunos conseguiram por si só chegar a conclusões tornando a aula muito mais interessante que a maioria das aulas tipicamente “tradicionais”, aulas expositivas onde quem dá  as “conclusões” é a professora  e os alunos não fazem nada mais senão escrevê-la no caderno e “praticá-la” com alguns exercícios.

É certamente difícil, para o professor, aplicar novos métodos de ensino na sala de aula, realizar atividades inovadoras e dar assim mais “poder” ao aluno na continuidade da aprendizagem mas “cabe-lhe, também, procurar, através da troca de experiências com os seus colegas, da participação de atividades de formação e em projetos inovadores de investigação ou investigação-ação,  aperfeiçoar-se e tornar-se cada vez mais competente no manejo dos instrumentos de análise e das abordagens próprias da sua área profissional.”(Ponte et al.,1997)

Fonte: Ponte, J. P., Boavida, A. M., Graça, M., Abrantes, P. (1997). Didáctica da  Matemática. Lisboa: Editorial do Ministério da Educação

Explicações de matemática - Massamá